Question

13．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°，
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；
（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到；
（2）直线DE是AC的中垂线，利用待定系数法以及互相垂直的两直线的关系即可求得DE的解析式；
（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得N的坐标．

解答 解：（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴设OA=$\sqrt{3}$x，则OC=3x，
根据勾股定理得：（3x）²+（$\sqrt{3}$x）²=AC²，
即9x²+3x²=144，
解得：x=2$\sqrt{3}$．
则C的坐标是：（6$\sqrt{3}$，0），B的坐标是（6$\sqrt{3}$，6）；
（2）∵直线AC的斜率为-$\frac{6}{6\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AC⊥DE，
∴直线DE的斜率为$\sqrt{3}$，
∵F是AC的中点，
∴F的坐标是（3$\sqrt{3}$，3），
设直线DE的解析式是y=$\sqrt{3}$x+b，
把F坐标代入得：9+b=3，
解得：b=-6．
则直线DE的解析式是：y=$\sqrt{3}$x-6；
（3）∵OF为Rt△AOC斜边上的中线，
∴OF=$\frac{1}{2}$AC=6，
∵直线DE的斜率为$\sqrt{3}$，
∴DE与x轴夹角是60°，
当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，
∴∠NOC=60°或120°．
当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，
∴NG=ON•sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3，OG=ON•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
此时N的坐标是（3，3$\sqrt{3}$）；
当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-3$\sqrt{3}$）；
当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称，
∵F的坐标是（3$\sqrt{3}$，3），
∴∠FOD=∠NOF=30°，
在直角△ONH中，OH=$\frac{1}{2}$OF=3，ON=$\frac{OH}{cos∠NOH}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$．
作NL⊥y轴于点L．
在直角△ONL中，∠NOL=30°，
∴NL=$\frac{1}{2}$ON=$\sqrt{3}$，OL=ON•cos30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
此时N的坐标是（$\sqrt{3}$，3）．
当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，
此时点的坐标为：（3$\sqrt{3}$，-3）．
则N的坐标是：（3$\sqrt{3}$，-3）或（3，3$\sqrt{3}$）或（-3，-3$\sqrt{3}$）或（$\sqrt{3}$，3）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，线段中点坐标公式，含30度直角三角形的性质，以及菱形的性质，本题对于N的位置的讨论是解第三问的关键．