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    如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=45°，AB=4
    		2
    ，AD=7，BC=14．动点E从点B出发，沿B-C方向以2cm/s的速度运动，同时动点F从点C出发，沿C-D-A以2cm/s的速度运动，过点E作MEBC，与折线B-A-D相交于点M，当点M与点D重合时，两个动点都停止运动．设点E、F运动的时间为t秒（t＞0），由点B、M、E、F组成的四边形的面积为S．
    （1）求线段CD的长；
    （2）是否存在合适的t，使得△EFM是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出对应的t的值；
    （3）直接写出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围．
    考点：四边形综合题
    专题：
    分析：（1）如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，由勾股定理就可以求出AE，DF的值，进而求出CD的值；
    （2）如图3，如图4，根据（1）的结论求出tan∠B=
    AE
    BE
    =1    ，sin∠C=
    DF
    CD
    =
    4
    5
    ，cos∠C=
    3
    5
    再由等腰三角形的分类讨论就可以求出t的值；
    （3）如图5，6，7，8，分4中情况，0＜t≤2时，2＜t≤2.5，2.5＜t≤4，4＜t≤5.5时，由三角形的面积公式和梯形的面积公式就可以表示出S与t的关系式．
    解答：解：（1）如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
    ∴∠AEB=∠AEF=∠DFC=∠DFE=90°．
    ∵∠ABC=45°，
    ∴∠BAE=45°，
    ∴∠ABC=∠BAE，
    ∴AE=BE．
    在Rt△ABE中，AB=4
    		2
    ，由勾股定理，得
    BE=AE=4．
    ∵AD∥BC，
    ∴∠DAE=∠AEB=90°．
    ∴∠AEF=∠EAD=∠DFE=90°，
    ∴四边形AEFD是矩形，
    ∴AD=EF，AE=DF，
    ∴DF=4．
    ∵AD=7，
    ∴EF=7．
    ∵BC=14，
    ∴CF=14-7-4=3
    在Rt△DFC中勾股定理，得
    CD=5；
    答：CD的长为5；
    （2）∵∠AEB=∠DFC=90°，
    ∴tan∠B=
    AE
    BE
    =1    ，sin∠C=
    DF
    CD
    =
    4
    5
    ，cos∠C=
    3
    5
    ．
    如图2，当MF=EF时，作FH⊥EM于H，FG⊥BC于G，
    ∴∠FHE=∠FGE=90°，∠MEC=90，
    ∴四边形HEGF是矩形，
    ∴HE=GF．
    ∵EH=
    1
    2
    EM=
    1
    2
    BE=t，GF=
    8
    5
    t，
    ∴t=
    8
    5
    t，
    ∴t=0（舍去）．
    如图3，当MF=ME时，作AG⊥BC交BC于G，
    ∴AM=2t-4．
    ∵FD=2t-5，
    ∴MF=7-（2t-4）-（2t-5）=16-4t，
    ∴16-4t=4，
    ∴t=3；
    如图4，当MF=ME时，作AG⊥BC交BC于G，
    ∴AM=2t-4．
    ∵AF=12-2t，
    ∴MF=AM-AF=2t-4-（12-2t）=4t-16，
    ∴4t-16=4，
    ∴t=5．
    ∴t=3或t=4时，△EFM是等腰三角形；
    （3）如图5，当0＜t≤2时，作FG⊥BC于G，
    ∴∠FGC=90°，
    ∴FG=
    8
    5
    t．CG=
    6
    5
    t．
    ∵BE=EM=2t，
    ∴EG=14-2t-
    6
    5
    t=14-
    16
    5
    t．
    ∴S=
    2t×2t
    2
    +
    2t(14-
    16
    5
    t)
    2
    =2t2+14t-
    16
    5
    t2=-
    6
    5
    t2+14t；
    如图6，当2＜t≤2.5时，作FG⊥BC于G，
    S=
    4×2t
    2
    +
    4(14-
    16
    5
    t)
    2
    =28-
    12
    5
    t；
    如图7，当2.5＜t≤4时，
    S=
    ME(MF+BE)
    2
    =
    4(16-4t+2t)
    2
    =-4t+32；
    如图8，4＜t≤5.5时，
    S═
    ME(MF+BE)
    2
    =
    4(4t-16+2t)
    2
    =12t-32．
    ∴S=
    -
    6
    5
    t2+14t(0＜t≤2)
    28-
    12
    5
    t(2＜t≤2.5)
    -4t+32(2.5＜t≤4)
    12t-32(4＜t≤5.5)
    ．
    点评：本题考查了梯形的性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，三角函数值的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，函数的解析式的运用，解答时求函数的解析式灵活运用三角形和梯形的面积公式是关键．
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    ．

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    1
    3
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    1
    3
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