解:(1)在Rt△AOB中,∠ABO=30°,AB=2,
则OA=1,OB=
,
∴点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(
,0),
在Rt△ABC中,AB=2,∠ACB=30°,
则BC=ABcot∠ACB=2
,
过点C作CD⊥x轴于点D,如图所示:
在Rt△BCD中,∠CBD=60°,BC=2
,
则BD=BCsin∠BCD=
,CD=
BD=3,
故点C的坐标为(2
,3).
综上可得点A(0,1),点B(
,0),点C(2
,3).
(2)设y=ax
2+bx+1,
将B(
,0),C(2
,3)代入可得:
,
解得:
,
故抛物线解析式为:y=
x
2-
x+1.
(3)①当点P与点C重合时,很明显△PAB的面积等于△ABC,此时点P的坐标为(2
,3).
②点P与点C不重合时,设直线AB解析式为y=kx+1,
将B(
,0)代入可得:
k+1=0,
解得:k=-
,
∴y=-
x+1,
过点C作直线AB的平行线,则与抛物线交点为点P的位置,
设直线CP的解析式为y=-
x+m,
将C(2
,3)代入可得:3=-
×2
+m,
解得:m=5,
∴直线CP的解析式为y=-
x+5,
联立抛物线与直线CP的解析式:
,
解得:
,
,
故此时点P的坐标为(-
,6).
综上可得点P的坐标为(2
,3)或(-
,6).
分析:(1)在Rt△AOB中,可求出OA、OB,继而得出A、B的坐标,过点C作CD⊥x轴于点D,在Rt△BCD中求出BD,CD即可得出点C的坐标;
(2)利用待定系数法可求出过A,B,C三点的抛物线解析式;
(3)分两种情况讨论,①点P与点C重合,②点P与点C不重合,求出直线AB的解析式,过点C作直线AB的平行线,则与抛物线的交点即是符合题意的点P的位置.
点评:本题考查了二次函数综合题,前两问的求解比较简单,难点在第三问,解答本题的关键是根据平行线之间的距离相等找到点P的位置,另外不要忘记考虑点P与点C重合的情况造成漏解.