Question

已知抛物线y=ax²+bx经过点A（-2，0），顶点为（-1，1）．
（1）确定抛物线的解析式．
（2）直线y=-3与抛物线相交于B，C两点（B点在C点左侧），以BC为一边，原点O为另一顶点作平行四边形，设平行四边形的面积为S，求S的值．
（3）若以（2）小题中BC为一边，抛物线上的任一点P为另一项点作平行四边形，当平行四边形面积为8时，试确定P点的坐标．
（4）当-4≤x≤2时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有，请求出；若无，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx经过点A（-2，0），顶点为（-1，1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x；

（2）联立，
解得，，
∵B点在C点左侧，
∴点B（-3，-3），C（1，-3），
∴BC=1-（-3）=1+3=4，
又∵平行四边形以BC为一边，原点O为另一顶点，
∴S=4×3=12；

（3）设点P到BC的距离为h，
则BC•h=8，
即4h=8，
解得h=2，
①当点P在BC的上方时，点P的纵坐标为-3+2=-1，
此时，-x²-2x=-1，
整理得，x²+2x-1=0，
解得x₁=-1-，x₂=-1+，
所以，点P的坐标为（-1-，-1）或（-1+，-1），
②当点P在BC下方时，点P的纵坐标为-3-2=-5，
此时，-x²-2x=-5，
整理得，x²+2x-5=0，
解得x₁=-1-，x₂=-1+，
所以，点P的坐标为（-1-，-5）或（-1+，-5）；
综上所述，平行四边形面积为8时，点P的坐标为（-1-，-1）或（-1+，-1）或（-1-，-5）或（-1+，-5）；

（4）设点P的坐标为（x，-x²-2x），
①点P在BC边的上方时，点P到BC的距离为-x²-2x-（-3）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∵点B（-3，-3），C（1，-3），
∴x的取值范围为-3＜x＜1，
∴当x=-1时，距离有最大值，为4，
②点P在BC的下方时，点P到BC的距离为-3-（-x²-2x）=x²+2x-3=（x+1）²-3，
∵点B（-3，-3），C（1，-3），
∴在-4≤x≤2范围内，x的取值范围为-4≤x＜3或1＜x≤2，
∴当x=-4或x=2时，距离有最大值，为（-4+1）²-3=5，
∵5＞4，
∴当点P在BC的下方时，在-4≤x≤2范围内，平行四边形的面积有最大值，
最大值为：4×5=20，
此时，-x²-2x=-（-4）²-2×（-4）=-16+8=-8，
-x²-2x=-2²-2×2=-4-4=-8，
所以点P的坐标为（-4，-8）或（2，-8），
故，存在点P（-4，-8）或（2，-8），使在-4≤x≤2范围内，平行四边形的面积有最大值．
分析：（1）把点A与顶点坐标代入抛物线解析式进行计算求出a、b的值，然后即可得解；
（2）联立直线y=-3与抛物线解析式求出点B、C的坐标，然后求出BC的长度，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（3）先根据平行四边形的面积求出点P到BC的距离，然后求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析进行计算求出点P的横坐标，从而得解；
（4）根据抛物线解析式设点P的坐标为（x，-x²-2x），然后分①点P在BC边的上方时，表示出点P到BC的距离，然后根据二次函数的增减性求出距离的最大值，②点P在BC的下方时，表示出点P到BC的距离，然后根据二次函数的增减性求出距离的最大值，然后二者比较，从而得解．
点评：本题考查了二次函数综合题型，主要涉及待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的面积，二次函数的最值问题，难点在于（3）（4）两题要分情况进行讨论求解．