Question

如图所示，△ABC的外接圆圆心0在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD，CP是△CDN的ND边的中线。
（1）求证：△ABC≌△DNC；
（2）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵DM⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∴∠MAN=90°-∠MNA，
又∠MNA=∠CND，
又∵∠D=90°-∠CND，
∴∠MAN=∠D，
又∵AC=CD，
AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠NCD，
∴△ABC≌△DNC（ASA）；
（2）CP是⊙O的切线，证明如下：
∵CP为△CND的中位线，
∴CP=PD=NP，
∴∠PCD=∠D=∠MAN，
又∠PCD+∠NCP=90°，∠MAN+∠MBC=90°，
∴∠NCP=∠MBC，
∴ CP是⊙O的切线。