Question

如图1，四边形ABCD、DEFG都是正方形，且C、D、E在同一条直线上，连接AE、CG．

（1）猜想AE与CG的数量关系和位置关系，并给予说明．
（2）把正方形ABCD绕点D旋转到如图2所示的位置，上述结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）AE=CG，AE⊥CG．
理由如下：∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
∵在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠CGD=∠AED，
延长AE交CG于M，
∵∠CGD+∠DCG=90°，
∴∠AED+∠DCG=90°，
∴∠EMC=180°-（∠AED+∠DCG）=180°-90°=90°，
∴AE⊥CG；

（2）结论还成立．
理由如下：∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC-∠ADG=∠GDE-∠ADG，
即∠ADE=∠CDG，
∵在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠CGD=∠AED，
延长AE交CG于M，延长GC交ED的延长线于N，
∵∠CGD+∠N=90°，
∴∠AED+∠N=90°，
∴∠EMN=180°-（∠AED+∠N）=180°-90°=90°，
∴AE⊥CG．
分析：（1）根据正方形的性质可得AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，然后利用“边角边”证明△ADE和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CG，全等三角形对应角相等可得∠CGD=∠AED，延长AE交CG于M，根据∠CGD+∠DCG=90°求出∠AED+∠DCG=90°，然后求出∠CME=90°，再根据垂直的定义即可得解；
（2）根据正方形的性质可得AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，然后求出∠ADE=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ADE和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CG，全等三角形对应角相等可得∠CGD=∠AED，延长AE交CG于M，延长GC交ED的延长线于N，根据∠CGD+∠N=90°求出∠AED+∠N=90°，然后求出∠CME=90°，再根据垂直的定义即可得解．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，熟记正方形的性质确定出三角形全等的条件是解题的关键．