Question

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：AE=AF；
（2）若∠B=∠ADC=∠ADF=90°，求∠CPD的度数．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠ADC=∠ADF=90°，AB=AD，
又∵BE=DF，
∵在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；

（2）连结AP，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°，
又∵AE=AF，
∴∠AEF=45°，
∵∠AEB=75°，
∴∠CEF=180°-45°-75°=60°，
∵∠ECF=90°，P为EF中点，
∴CP=PF=EF，∠EFC=∠PCF=30°，
∵P为EF中点，∠EAF=90°，AP=EF，
∴AP=CP，
又∵AD=CD，PD=PD，
∵在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠ADP=∠CDP，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDP=45°，
∴∠CPD=180°-∠PCD-∠CDP=105°．
分析：（1）根据正方形的性质可得∠B=∠ADC=∠ADF=90°，AB=AD，结合BE=DF，即可证明△ABE≌△ADF，于是可得AE=AF；
（2）连结AP，首先根据△ABE≌△ADF得∠BAE=∠DAF，结合角角之间的关系得到∠CEF=60°，由P为EF中点，∠EAF=90°，AP=EF，得到AO=CP，进一步证明△APD≌△CPD，再根据三角形全等的性质得∠ADP=∠CDP，进而求出∠CPD的度数．
点评：本题主要考查正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的证明，此题难度不大，是比较不错的一道习题．