Question

设关于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，且x₁＜2＜x₂，那么实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据根的判别式求出a的取值范围，再根据根与系数的关系求出a的取值范围，求其公共解即可．

解答：解：∵关于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，
∴△=（a+2）²-4a•9a=a²+4a+4-36a²=-35a²+4a+4＞0；
整理得（-5a+2）（7a+2）＞0，
即

-5a+2＞0 7a+2＞0

，解得-

2

7

＜a＜

2

5

；
或

-5a+2＜0 7a+2＜0

，无解；
又∵x₁＜2＜x₂，
∴x₁-2＜0，x₂-2＞0，
∴（x₁-2）（x₂-2）＜0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4＜0，
根据根与系数的关系得，9-2×（-

a+2

a

）+4＜0，
解得0＞a＞-

4

15

，
综上，-

4

15

＜a＜0．
故答案为-

4

15

＜a＜0．

点评：此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，将二者结合是解题常用的方法．