Question

如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D、E分别为边AB、AC的中点，连接CD，且BD=2DE，BC=4，则AC的长为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   8
4. D.
   

Answer 1

B
分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BD=2DE，然后求出BD=BC=CD，判定△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠B=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：∵∠ACB=90°，点D为边AB的中点，
∴CD=BD，
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴BC=2DE，
又∵BD=2DE，
∴BD=BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°，
∵BC=4，
∴AB=2BC=2×4=8，
在Rt△ABC中，AC===4．
故选B．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记各性质是解题的关键．