Question

如图，Rt△OAB在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知∠OBA=90°，OB=3，sin∠AOB=．反比例函数P（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点C（m，2）是反比例函数B（x＞0）图象上的点．
①在x轴上是否存在点P，使得PA+PC最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
②在x轴上是否存在点Q，使得QA与QC的差最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠OBA=90°，sin∠AOB=，可设AB=4a，OA=5a，
∴OB==3a，又OB=3，
∴a=1，
∴AB=4，
∴点A的坐标为（3，4），
∵点A在其图象上，
∴4=
k=12；
∴比例函数的解析式为；

（2）∵点C（m，2）是反比例函数（x＞0）图象上的点，k=12，
∴2=，
∴m=6，即点C的坐标为（6，2）；
①在x轴上存在点P，使得PA+PC最小．理由如下：由点A（3，4）可知它关于
轴的对称点为A'（3，-4），设直线A'C的解析式为：y=k₁x+b₁，
∵A'（3，-4）与（6，2）在其图象上，
，
解得
∴直线A'C的解析式为：y=2x-10，
设y=0，可知x=5，
∴P（5，0）可使PA+PC最小；
②在x轴上存在点Q，使得线段QA与QC的差最大．理由如下：
设直线AC的解析式为：y=k₂x+b₂，
∵A（3，4）与C（6，2）在其图象上，
，
解得
∴直线AC的解析式为：，
设y=0，可知x=9，
∴Q（9，0）可使线段QA与QC的差最大．
分析：（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）①首先求得点A关于x轴的对称点的坐标，然后求得直线A′C的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标；
②求得直线AC的解析式后求得直线AC与x轴的交点坐标即可求得点Q的坐标．
点评：本题考查了反比例函数的综合知识，特别是第二题中求两条线段的和的最大值更是中考的热点考题之一．