Question

15．如图，△ABC，∠A=60°，BE⊥AC于点F，点D是BC中点，BE与CF相交于M
（1）求证：△DEF是等边三角形；
（2）如果FM=4，MC=3，求BE的长度．

Answer 1

分析 （1）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABE=∠ACF=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCF+∠CBE=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDF+∠CDE=120°，从而得到∠EDF=60°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证明；
（2）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BM=2FM，ME=$\frac{1}{2}$CM，然后代入数据进行计算即可求解．

解答 （1）证明：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°，
在△ABC中，∠BCF+∠CBE=180°-60°-30°×2=60°，
∵点D是BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴DE=DF=BD=CD，
∴∠BDF=2∠BCF，∠CDE=2∠CBE，
∴∠BDF+∠CDE=2（∠BCF+∠CBE）=2×60°=120°，
∴∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形；

（2）解：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°，
∴BM=2FM=2×4=8，ME=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∴BE=BM+ME=8+$\frac{3}{2}$=$\frac{19}{2}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．