Question

4．如图，已知，MN是AD的垂直平分线，点C在MN上，∠MCA=20°，∠ACB=90°，CA=CB=5，BD交MN于点E，交AC于点F，连接AE．   
（1）求∠CBE，∠CAE的度数；
（2）求AE²+BE²的值．

Answer 1

分析 （1）连接CD，利用轴对称的性质进行解答即可；
（2）根据勾股定理进行解答即可．

解答 解：（1）连接CD，
∵MN垂直平分AD，点C，E在MN上，
∴根据点A，D关于MN的对称性，得 CA=CD，∠MCD=∠MCA，∠CAE=∠CDE，
∵CA=CB，
∴CB=CD，
∴∠CBE=∠CDB，
∴∠CBE=∠CAE，
∵∠MCA=20°，
∴∠MCD=20°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=130°，
∴∠CBE=∠CDB=25°，
∠CAE=∠CDB=∠CBE=25°；
（2）∵∠CFE既是△AEF的外角又是△BCF的外角，
∴∠CFE=∠CAE+∠AEF=∠CBF+∠FCB，
∵∠CAE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ACB=90°，
∴AE²+BE²=AB²，
∵∠ACB=90°，CA=CB，AC=5，
∴AB²=AC²+BC²=50，
∴AE²+BE²=AB²=AC²+BC²=50．

点评 本题考查的是轴对称的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．