Question

15．如图，等边△ABC内有一点O，且OA=10，OB=6，OC=8，求∠BOC的度数．（提示：将△AOC顺时针旋转60°后，AC与AB重合，连接OO′）

Answer 1

分析 先由△ABC为等边三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，于是将△AOC绕点A顺时针旋转60°可得到△AO′B，连结OO′，如图，根据旋转的性质得BO′=OC=8，AO′=AO=10，∠OAO′=60°，∠AO′B=∠AOC，则可判断△OAO′为等边三角形，所以OO′=OA=10，再利用勾股定理的逆定理可证明△OBO′为直角三角形，∠OBO′=90°，则利用四边形内角和可计算出∠AOB+∠AO′B=210°，所以∠AOB+∠AOC=210°，然后利用周角定义可计算出∠BOC的度数．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到△AO′B，连结OO′，如图，
∴BO′=OC=8，AO′=AO=10，∠OAO′=60°，∠AO′B=∠AOC，
∴△OAO′为等边三角形，
∴OO′=OA=10，
在△OBO′中，∵OB=6，BO′=8，OO′=10，
∴OB²+BO′²=OO′²，
∴△OBO′为直角三角形，∠OBO′=90°，
在四边形AOBO′中，∠AOB+∠AO′B=360°-∠OAO′-∠OBO′=360°-60°-90°=210°，
∴∠AOB+∠AOC=210°，
∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）=360°-210°=150°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．