Question

已知抛物线y=ax²+2x+3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少，纵坐标增大分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax²+2x+3（a≠0）上。
（1）求出当实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3（a≠0）的顶点所在直线l的解析式；
（2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；
（3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明。

Answer 1

解：（1）取a=1，得抛物线，
其顶点为，
取a=-1，得抛物线，
其顶点为，
由题意有在直线l上，设直线l的解析式为，
则解得：
∴直线l的解析式为；
（2）∵抛物线的顶点P坐标为，
显然P在直线上，
又能取到除0以外的所有实数，
∴在上仅有一点（0，3）不是该抛物线的顶点；
（3）猜想：对于抛物线，将其顶点的横坐标减少，纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线上，
证明如下：
∵抛物线的顶点坐标为（），
∴点A的坐标为，
点B的坐标为，
∵时，
∴点A在抛物线，
同理有B也在抛物线上，故结论成立。