Question

9．如图，己知抛物线y=k（x+1）（x-3k）（且k＞0）与x轴分别交于A、B两点，A点在B点左边，与Y轴交于C点，连接BC，过A点作AE∥CB交抛物线于E点，0为坐标原点．
（1）用k表示点C的坐标（0，-3k²）；
（2）若k=1，连接BE，
①求出点E的坐标；
②在x轴上找点P，使以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，求出P点坐标；
（3）若在直线AE上存在唯一的一点Q，连接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值．

Answer 1

分析 （1）只需把x=0代入抛物线的解析式，就可求出点C的坐标；
（2）①只需先求出直线AE的解析式，再求出直线AE与抛物线的交点坐标，就可解决问题；②由AE∥BC可得∠EAB=∠ABC，然后分△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况进行讨论，运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）由OQ⊥BQ可知点Q在以OB为直径的圆上，由于直线AE上存在唯一的一点Q，使得OQ⊥BQ，因此以OB为直径的圆与直线AE相切，切点为Q，圆心记为O′，连接O′Q，如图2，易证△AQO′∽△BOC，然后只需用k的代数式表示OC、QO′、AO′、BC，再运用相似三角形的性质就可求出k的值．

解答 解：（1）当x=0时，y=k（0+1）（0-3k）=-3k²，
∴点C的坐标为（0，-3k²）．
故答案为：-3k²；

（2）①∵k=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3）．
当x=0时，y=-3，则点C（0，-3），OC=3；
当y=0时，x₁=-1，x₂=3，
则点A（-1，0），点B（3，0），OA=1，OB=3．
∵AE∥CB，∴△AOD∽△BOC，
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{OA}{OB}$，
∴OD=1，即D（0，1）．
设直线AE的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=x+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（4，5）；
②过点E作EH⊥x轴于H，如图1，
则OH=4，BH=5，AH=5，AE=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
∵AE∥BC，∴∠EAB=∠ABC．
Ⅰ．若△PBC∽△BAE，则$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BC}{AE}$．
∵AB=4，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AE=5$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BP}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$，
∴BP=$\frac{12}{5}$，
∴点P的坐标为（3-$\frac{12}{5}$，0）即（$\frac{3}{5}$，0）；
Ⅱ．若△PBC∽△EAB，则$\frac{BP}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{BP}{5\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴BP=$\frac{15}{2}$，
∴点P的坐标为（3-$\frac{15}{2}$，0）即（-$\frac{9}{2}$，0）；
综上所述：满足条件的P点坐标为（$\frac{3}{5}$，0）或（-$\frac{9}{2}$，0）；

（3）∵直线AE上存在唯一的一点Q，使得OQ⊥BQ，
∴以OB为直径的圆与直线AE相切于点Q，圆心记为O′，连接O′Q，如图2，
则有O′Q⊥AE，O′Q=OO′=$\frac{1}{2}$OB．
当x=0时，y=k（0+1）（0-3k）=-3k²，则点C（0，-3k²），
当y=0时，k（x+1）（x-3k）=0，解得x₁=-1，x₂=3k，
则点A（-1，0），B（3k，0），
∴OB=3k，OA=1，OC=3k²，
∴O′Q=OO′=$\frac{3k}{2}$，O′A=$\frac{3k}{2}$+1，BC=$\sqrt{（3{k}^{2}）^{2}+（3k）^{2}}$=3k•$\sqrt{{k}^{2}+1}$．
∵∠QAO′=∠OBC，∠AQO′=∠BOC=90°，
∴△AQO′∽△BOC，
∴$\frac{QO′}{OC}$=$\frac{AO′}{BC}$，
∴QO′•BC=AO′•OC，
∴$\frac{3k}{2}$•3k•$\sqrt{{k}^{2}+1}$=（$\frac{3k}{2}$+1）•3k²，
解得：k=$\frac{5}{12}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、抛物线上点的坐标特征、运用待定系数法求直线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、勾股定理等知识，解决第3小题的关键是把条件转化为以OB为直径的圆与直线AE相切．