Question

课题：探究能拼成正多边形的三角形的面积计算公式．
实验：
（1）如图1，三角形的三边长分别为a、b、c，∠A=60°，现将六个这样的三角形（设面积为S₆）拼成一个六边形，由于大六边形三个角都是∠B+∠C=120°，所以由a边围成了一个大的正六边形，其面积可计算出为______

Answer 1

【答案】分析：（1）根据大六边形的边长是a可直接计算出其面积；再根据直角三角形ABC的边长可求出小正六边形的边长，由六边形的面积公式可求出小六边形的面积，再把两个六边形的面积相减即可求出六个三角形的面积；
（2）根据题意画出图形，再根据正三角形的面积公式即可求解；
（3）根据（1）（2）可总结出规律．
解答：解：（1）∵大正六边形的边长是a，
∴大正六边形的面积是：a²；
∵Rt△ABC的三边长分别为a、b、c，
∴小六边形的边长是b-c；
∴小六边形的面积是：（b-c）²；
∴这六个三角形的面积=a²-（b-c）²=[a²-（b-c）²]；

（2）如图画出正三角形花环，

∵大三角形的边长都是a，小三角形的边长都是b-c，
∴两个三角形都是正三角形，
可求得大三角形面积为a²，小三角形的面积为（b-c）²，
∴S₃=[a²-（b-c）²]=[a²-（b-c）²]；

（3）当∠A=时，能拼成一个任意正n边形花环，
此时大正n边形的面积为，
花环内小正n边形的面积为，
故S_n=．
点评：本题考查的是正多边形与圆、解直角三角形，熟知正六边形的面积公式及直角三角形的性质是解答此题的关键．