Question

7．如图：A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=2，且MN=4，P为直线上的动点，|PA-PB|的最大值为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作点B于直线l的对称点B，则PB=PB′因而|PA-PB|=|PA-PB′|，则当A，B′、P在一条直线上时，|PA-PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA-PB|的最大值．

解答 解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P．
∴B′N=BN=2，
∵AM∥B′N，
∴$\frac{PN}{PM}$=$\frac{B′N}{AM}$，
即$\frac{PN}{PN+4}$=$\frac{2}{4}$，
解得：PN=4，
PM=4+4=8，
∴PA=$\sqrt{P{M}^{2}+A{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，PB′=$\sqrt{B′{N}^{2}+P{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴|PA-PB|的最大值=2$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了作图-轴对称变换，平行线分线段定理、勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．