Question

19．如图，△ABC中，D为BC边上的点，∠CAD=∠CDA，E为AB边的中点．
（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连结EF，EF与BC是什么位置关系？为什么？
（3）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的作图可得；
（2）由等腰三角形的三线合一，结合E为AB边的中点证EF为△ABD的中位线可得；
（3）利用相似三角形的性质可得．

解答 解：（1）如图，射线CF即为所求；


（2）EF∥BC．
∵∠CAD=∠CDA，
∴AC=DC，即△CAD为等腰三角形；
又CF是顶角∠ACD的平分线，
∴CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，
∵E是AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，从而EF∥BC；

（3）由（2）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABD，
∴$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{△ABD}}}}={（\frac{AE}{AB}）^2}$，
又∵AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴得$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△AEF}+{S}_{四边形BDFE}}$=$\frac{1}{4}$，
把S_{四边形BDFE}=9代入其中，解得S_△AEF=3，
∴S_△ABD=S_△AEF+S_{四边形BDFE}=3+9=12，
即△ABD的面积为12．

点评 本题主要考查作图-基本作图和等腰三角形的性质、中位线定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质、中位线定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．