Question

现有一宽为40厘米的矩形铁皮，用它可以冲出3个扇形，加工成3个底面半径为10厘米，母线长为20厘米的无底面圆锥（不计接缝损失）．
（1）计算此圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角的度数；
（2）按照题目要求在下图中画出使铁皮能充分利用（最省料）的示意图，并求出矩形铁皮的长手最少为多少厘米．

Answer 1

分析：（1）利用弧长公式l=

nπr

180

，以及圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，求出n的度数即可；
（2）利用两圆相切的性质得出理EO₃=

O1 O 2 3 -O1E2

进而求出EO₃=O₁D，得出AD=AO_l+O_lD得出答案即可．

解答：解：（1）设圆心角的读数为n°，则

nπ×20

180

=20π．        
所以n=180．所以此扇形的圆心角的度数为180°，

（2）因为扇形的圆心角为180°，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形是半径为20厘米的半圆，如图1所示，当三个半圆所在的圆两两外切，且半圆的直径与长方形的边垂直时，能使铁皮得以充分利用
如图2，连接O_lO₂，O₂O₃，0₃0₁．
因为  EO₁、EO₂、EO₃两两外切，AO₁=B0₂=C0₃=20，所以  O₁0₂=0₂0₃=O₃O₁=0₁A+CO₃=40．
过O₃作0₃E⊥O_l0₂于E．因为0₂0₃=O_lO₃，所以  O₁E=O₂E=

1

2

O₁O₂=20．
在△0₁E0₃中，∠O₁EO₃=90°，
根据勾股定理EO₃=

O1 O 2 3 -O1E2

=

402+202

=20

3

． 
因为四边形ABCD是矩形．
所以AD∥BC，AD=BC，∠A=∠D=90°，
因为，A0_l=B0₂，AO_l∥B0₂，所以四边形AB0₂0_l是矩形．
所以∠AO₁O₂=90°，所以O₁E=DO₃．又因为O_lE=D0₃，
所以四边形0₁EO₃D是平行四边形．
所以EO₃=O₁D．
所以AD=AO_l+O_lD=20+20

3

．    
因此短形铁片的长至少为（20+20

3

）厘米．

点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算和两圆相切的性质．利用相切两圆的性质得出EO₃=O₁D是解题的关键．