Question

2．抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-1，D点坐标为（-1，$\frac{3}{2}$），经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，P（m，n）是抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-1上的动点．
（1）求证：P到O的距离PO等于P到直线l的距离PE；
（2）当△PDO的周长最小时，求P点的坐标；
（3）求三角形PDO的面积S与m之间的函数关系式，若将“使△PDO的面积为整数”的点P记作“好点”，若-4≤m≤4，请直接写出所有“好点”的个数．

Answer 1

分析 （1）求出OP的长，以及点P到直线l的距离即可证明．
（2）如图1中，过P作PM∥y轴，交直线l于M．欲求△PDO的周长最小，则PO+PD的值最小，因为PO+PD=PD+PM≥DM，所以PD+PO的最小值为DM，即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM；
（3）分五种情形讨论求解．①如图2中，当m＜-2时，作PM⊥x轴于M，连接DM，根据S=S_△PDM+s_△DOM-S_△PMO，计算即可．②如图3中，当-2≤m＜-1时，作PM⊥y轴于M，根据S=S_△PDM+S_△DOM-S_△POM，计算即可．③如图4中，当-1≤m＜-3+$\sqrt{13}$时，作DM⊥x轴于M，根据S=S_△DOM+S_△POM-S_△DMP，计算即可．④如图5中，当-3+$\sqrt{13}$≤m＜2时，作PM⊥y轴于M，S=S_△DOM+S_△DPM-S_△DPM，计算即可．⑤如图6中，当m≥2时，作PM⊥x轴于M，根据S=S_△DOM+S_△DPM-S_△DPM，计算即可．若-4≤m≤4，求出S的整数解，即可解决问题．

解答 （1）证明：∵P（m，n）是抛物线上的动点，
∴设P（m，$\frac{1}{4}$m²-1），
∴PO=d₁=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，点P到直线l的距离为d₂=$\frac{1}{4}$m²-1-（-2）=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴d₁=d₂，
∴P到O的距离PO等于P到直线l的距离PE．

（2）解：如图1中，过P作PM∥y轴，交直线l于M．

则P（m，n），M（m，-2）；
∴PO²=m²+n²，PM²=（n+2）²；
∵n=$\frac{1}{4}$m²-1，即m²=4n+4；
∴PO²=n²+4n+4=（n+2）²，
∴PO²=PM²，
即PO=PM；
∵D点（-1，$\frac{3}{2}$），则OD的长为定值；
若△PDO的周长最小，则PO+PD的值最小；
∵PO+PD=PD+PM≥DM，
∴PD+PO的最小值为DM，
即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM；
此时点P的横坐标为-1，代入抛物线的解析式可得y=$\frac{1}{4}$-1=-$\frac{3}{4}$，
即P（-1，-$\frac{3}{4}$）．

（3）解：直线OD的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-\sqrt{13}}\\{y=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\sqrt{13}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+\sqrt{13}}\\{y=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\sqrt{13}}\end{array}\right.$，
①如图2中，当m＜-2时，作PM⊥x轴于M，连接DM．

S=S_△PDM+s_△DOM-S_△PMO=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{4}$m²-1）•（-1-m）+$\frac{1}{2}$•（-m）•$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{4}$m²-1）（-m）=-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+$\frac{1}{2}$．

②如图3中，当-2≤m＜-1时，作PM⊥y轴于M．

S=S_△PDM+S_△DOM-S_△POM=$\frac{1}{2}$（-1-m）（$\frac{3}{2}$+1-$\frac{1}{4}{m}^{2}$）+$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{4}$m²）•1-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{4}$m²）（-m）=-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+$\frac{1}{4}$．
③如图4中，当-1≤m＜-3+$\sqrt{13}$时，作DM⊥x轴于M．

S=S_△DOM+S_△POM-S_△DMP=$\frac{1}{2}$•1•$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$•1•（1-$\frac{1}{4}$m²）-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{2}$•（m+1）=-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+$\frac{1}{2}$．
④如图5中，当-3+$\sqrt{13}$≤m＜2时，作PM⊥y轴于M．

S=S_△DOM+S_△OPM-S_△DMP=$\frac{1}{2}$•m•（1-$\frac{1}{4}$m²）+$\frac{1}{2}$•m•$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{4}$m²）（1+m）=$\frac{1}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m-$\frac{1}{2}$．
⑤如图6中，当m≥2时，作PM⊥x轴于M．

S=S_△DOM+S_△DPM-S_△DPM=$\frac{1}{2}$•m•$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{4}$m²-1）（m+1）-$\frac{1}{2}$•m•（$\frac{1}{4}$m²-1）=$\frac{1}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m-$\frac{1}{8}$．
∵-4≤m≤4，
当m=-4时，s=$\frac{3}{2}$，m=4时，S=4$\frac{7}{8}$，
由此可知S的整数解为2，3，4，对应的好点有5个．

点评 此题考查了二次函数综合题、待定系数法求函数的解析式、两点间的距离公式、三角形面积的等知识，解题的关键是利用垂线段最短解决最值问题，此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，学会用分割法求三角形的面积，属于中考压轴题．