Question

16．如图，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，若点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）将（m，m+1）代入抛物线，解出m的值，然后根据B与C的坐标可知，CD⊥y轴，OB=OC，所以点E在y轴上，然后根据对称的性质即可求出E的坐标．
（3）有两种方法：法一作辅助线PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，根据几何关系，先求出tan∠PBF，再设出P点坐标，根据几何关系解出P点坐标；法二过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H．过Q点作QG⊥DH于G，由角的关系，得到△QDG≌△DBH，再求出直线BP的解析式，解出方程组从而解出P点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4a=0}\\{-4a=4}\end{array}\right.$，
解之得：a=-1，b=3，
∴抛物线解析式为y=-x²+3x+4；

（2）如图，∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，
∴把D的坐标代入（1）中的解析式得：m+1=-m²+3m+4，
解得m=3或m=-1，
∵m＞0，
∴m=3，
∴D（3，4），
当y=0时，-x²+3x+4=0，解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CAO=∠OCB=45°，
设点D关于直线BC的对称点为点E，
∵C（0，4），
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上，且CE=CD=3，
∴OE=1，
∴E（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；

（3）作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，
由（1）可知OB=OC=4
∴∠OBC=45°
∵∠DBP=45°
∴∠CBD=∠PBA
∵C（0，4），D（3，4）
∴CD∥OB且CD=3
∴∠DCE=∠CBO=45°
∴DE=CE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵OB=OC=4
∴BC=4 $\sqrt{2}$，
∴BE=BC-CE=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴tan∠PBF=tan∠CBD=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{3}{5}$，设PF=3t，则BF=5t，OF=5t-4
∴P（-5t+4，3t）
∵P点在抛物线上
∴3t=-（-5t+4）²+3（-5t+4）+4
∴t=0（舍去）或t=$\frac{22}{25}$，
∴P（-$\frac{2}{5}$，$\frac{66}{25}$）；

点评 此题考查二次函数与x轴的交点，待定系数求函数解析式、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分方程的思想思考问题，属于中考常考题型．