Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠CBA=$\frac{4}{3}$，AB=5．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，连接CC′并延长，交AB于点O，交BB′于点F．若CC′=CA，则BF=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先过O作OH⊥BC于H，根据△BOH∽△BAC，可得$\frac{BO}{OH}$=$\frac{BA}{AC}$=$\frac{5}{4}$，再根据∠HCO=30°，可得OH=$\frac{1}{2}$CO，进而得到$\frac{BO}{CO}$=$\frac{5}{8}$，再判定△BOF∽△COA，可得$\frac{BF}{CA}$=$\frac{BO}{CO}$，即$\frac{BF}{4}$=$\frac{5}{8}$，据此可得BF的长．

解答 解：如图，过O作OH⊥BC于H，

由∠ACB=90°，tan∠CBA=$\frac{4}{3}$，AB=5，可得AC=4，
∵∠ACB=90°=∠OHB，
∴OH∥AC，
∴△BOH∽△BAC，
∴$\frac{BO}{OH}$=$\frac{BA}{AC}$=$\frac{5}{4}$，
由旋转可得CA=C'A，而CC′=CA，
∴△ACC'是等边三角形，
∴∠ACC'=60°，∠CAC'=60°，
∴∠HCO=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$CO，
∴$\frac{BO}{CO}$=$\frac{5}{8}$，
由旋转可得，∠BAB'=∠CAC'=60°，AB=AB'，
∴△ABB'是等边三角形，
∴∠ABB'=60°=∠ACO，
又∵∠BOF=∠COA，
∴△BOF∽△COA，
∴$\frac{BF}{CA}$=$\frac{BO}{CO}$，即$\frac{BF}{4}$=$\frac{5}{8}$，
∴BF=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据相似三角形的对应边成比例进行计算求解．