Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且BE=CF，连接AE、FB，FB的延长线交AE于点M．求证：
（1）△BEM∽△BFC；
（2）CF²=FB•ME．

Answer 1

证明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB=BC，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（ ASA），
∴∠E=∠F，
∠EBM=∠FBC，
∴△BEM∽△BFC；

（2）∵△BEM∽△BFC，
∴=，
∵BE=CF，
∴CF²=FB•ME；
分析：（1）根据已知条件得出AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，求出∠ABE=∠BCF，再根据BE=CF，从而证出△ABE≌△BCF，最后根据∠E=∠F，∠EBM=∠FBC，即可证出△BEM∽△BFC；
（2）根据△BEM∽△BFC，得出=，再根据BE=CF，即可证出CF²=FB•ME；
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；解题的关键是根据全等三角形的判定与性质和正方形的性质证出两三角形相似．