Question

已知：如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴、y轴都只有一个交点，分别为A、B且AB=2，又关于x的方程x²-（b+2ac）x+m=0（m＜0）的两个实数根互为相反数．
（1）求ac的值；
（2）求二次函数的解析式；
（3）过A点的直线与二次函数图象相交于另一个点C，与y轴的负半轴相交于点D，且使△ABD和△ABC的面积相等，求此直线的解析式并求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）∵方程x²-（b+2ac）x+m=0（m＜0）的两个实数根x₁，x₂互为相反数，
∴x₁+x₂=b+2ac=0…①，
又∵函数y=ax²+bx+c的图象与x轴只有一个交点，
∴△=b²-4ac=0…②，
解①②得ac=0（舍去），ac=1，
则b=±2，
根据对称轴x=-＞0且a＞0可知b＜0，故b=-2；

（2）连接AB，由抛物线解析式可知OA=-，OB=c，
在Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²，
即（-）²+c²=2²，=4，
解得a=（舍去负值），
则c==，
所以，抛物线解析式为y=x²-2x+；

（3）∵y=x²-2x+=（x-）²，
∴A（，0），
∵△ABD和△ABC的面积相等，
∴△ABD和△BCD的BD边上高的比为1：2，即A、C两点横坐标的比为1：2，
由此可得C点横坐标为2，代入y=（x-）²中，得y=，
则C（2，），
设直线AC解析式为y=kx+n，将A（，0），C（2，）代入，得
，
解得，
所以，直线AC解析式为y=x-，
由于B（0，），C（2，），
所以，S_△ABC=×2×=2．
分析：（1）根据关于x的方程x²-（b+2ac）x+m=0（m＜0）的两个实数根x₁，x₂互为相反数，得出x₁+x₂=b+2ac=0，又由二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴只有一个交点，得出△=b²-4ac=0，联立可求ac及b的值；
（2）连接AB，由抛物线解析式可知OA=-，OB=c，在Rt△AOB中，利用勾股定理求a的值，再求c的值，确定抛物线解析式；
（3）当△ABD和△ABC的面积相等时，△ABD和△BCD同底BD，则BD边上高的比为1：2，即A、C两点横坐标的比为1：2，根据A点横坐标可求C点横坐标，代入抛物线解析式求C点纵坐标，利用“两点法”可求直线AC的解析式．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是结合抛物线与x轴的交点只有一个，二元一次方程的两根互为相反数列出方程组求ac及b的值，根据三角形的面积关系求A、C两点横坐标的关系．