Question

（2013•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（

1

2

，

1

2

），E（0，-2），F（2

3

，0）．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D、E、F中，⊙O的关联点是

D，E

．
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①根据关联点的定义得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关系；
②若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，进而得出PC的长，进而得出点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r，再考虑临界点位置的P点，进而得出m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；再考虑临界情况，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=

1

2

EF=2，即可得出圆的半径r的取值范围．

解答：解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，
∵⊙O的半径为1，∴RO=1，
∵EO=2，
∴∠OER=30°，
根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，
∴E点是⊙O的关联点，
∵D（

1

2

，

1

2

），E（0，-2），F（2

3

，0），
∴OF＞EO，DO＜EO，
∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60°，
故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E；
故答案为：D，E；

②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，
需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，
由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，
连接BC，则PC=

BC

sin∠CPB

=2BC=2r，
∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；
由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，
如图3，点P₁到原点的距离OP₁=2×1=2，
过点O作直线l的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF=

FO

OG

=

2 3

2

=

3

，
∴∠OGF=60°，
∴OH=OGsin60°=

3

；
sin∠OP₁H=

OH

OP

=

3

2

，
∴∠OP₁H=60°，
可得点P₁与点G重合，
过点P₂作P₂M⊥x轴于点M，
可得∠P₂OM=30°，
∴OM=OP₂cos30°=

3

，
从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P₁P₂上，
∴0≤m≤

3

；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；
考虑临界情况，如图4，
即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=

1

2

EF=2，
此时，r=1，
故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线判定与性质以及锐角三角函数关系和新概念等知识，注意临界点位置的应用是解题关键．