练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线y=
    12
    x2-2x+1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连接O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A精英家教网落在点D的位置．
    （1）求直线l的函数解析式；
    （2）求点D的坐标；
    （3）抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC=S△DPB？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据题意，可以求得点P，A，B，O′的坐标，因为直线l过点B，P，所以利用待定系数法即可求得；
    （2）根据（1）的结果可求得点C的坐标，根据折叠的知识可得：∠CDO′=∠CAO′=90°，O′C是AD的垂直平分线，连接AD，作DF⊥AB于点F，利用相似三角形与直角三角形的性质即可求得；
    （3）显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，
    ∴点P是线段BC的中点，∴S△DPC=S△DPB．
    故要使S△DQC=S△DPB，只需S△DQC=S△DPC．（7分）
    过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC，
    故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．
    据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=
    3
    4
    x-
    5
    2
    ．根据题意还可求得，抛物线上存在两点Q1（2，-1）（即点P）和Q2（
    7
    2
    ，
    1
    8
    ），使得S△DQC=S△DPB．
    解答：解：（1）配方，得y=
    1
    2
    （x-2）2-1，
    ∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P（2，-1）．（1分）
    取x=0代入y=
    1
    2
    x2-2x+1，
    得y=1，
    ∴点A的坐标是（0，1）．
    由抛物线的对称性知，点A（0，1）与点B关于直线x=2对称，
    ∴点B的坐标是（4，1）．（2分）
    设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），将B、P的坐标代入，
    有
    1=4k+b
    -1=2k+b
    ，
    解得
    k=1
    b=-3
    ∴
    ∴直线l的解析式为y=x-3．（3分）

    （2）连接AD交O′C于点E，
    ∵点D由点A沿O′C翻折后得到，
    ∴O′C垂直平分AD．
    由（1）知，点C的坐标为（0，-3），
    ∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，
    ∴O′C=2
    		5
    ．
    据面积关系，有
    1
    2
    ×O′C×AE=
    1
    2
    ×O′A×CA，
    ∴AE=
    4
    5
    		5
    ，AD=2AE=
    8
    5
    		5
    ．精英家教网
    作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，
    ∴
    AF
    AC
    =
    DF
    O′A
    =
    AD
    O′C
    ，
    ∴AF=
    AD
    O′C
    •AC=
    16
    5
    ，DF=
    AD
    O′C
    •O′A=
    8
    5
    ，（5分）
    又∵OA=1，
    ∴点D的纵坐标为1-
    8
    5
    =-
    3
    5
    ，
    ∴点D的坐标为（
    16
    5
    ，-
    3
    5
    ）．（6分）

    （3）显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，
    ∴点P是线段BC的中点，
    ∴S△DPC=S△DPB．精英家教网
    故要使S△DQC=S△DPB，只需S△DQC=S△DPC．（7分）
    过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC，
    故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．
    容易求得过点C（0，-3）、D（
    16
    5
    ，-
    3
    5
    ）的直线的解析式为y=
    3
    4
    x-3，
    据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=
    3
    4
    x-
    5
    2
    ．
    令
    1
    2
    x2-2x+1=
    3
    4
    x-
    5
    2
    ，
    解得x1=2，x2=
    7
    2
    ，
    代入y=
    3
    4
    x-
    5
    2
    ，得y1=-1，y2=
    1
    8
    ，
    因此，抛物线上存在两点Q1（2，-1）（即点P）和Q2（
    7
    2
    ，
    1
    8
    ），使得S△DQC=S△DPB．（9分）
    （仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣1分）
    点评：此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．
    此题考查了二次函数与一次函数，折叠问题的综合应用，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案