如图.已知△ABC中.AB=AC.∠BAC=90°.直角∠EPF的顶点P是BC中点.两边PE.PF分别交AB.AC于点E.F.给出以下五个结论:①△PFA≌△PEB.②EF=AP.③△PEF是等腰直角三角形.④S四边形AEPF=$\frac{1}{2}$S△ABC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时.上述结论中始终正确有 ( )A．1个B．2个C．3个D．4� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

分析根据图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理，得出△APF≌△BPE，再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．

解答解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=PB，∠B=∠CAP=45°，
∵∠APF+∠FPA=90°，∠APF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠APF，
在△BPE和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CAP}\\{BP=AP}\\{∠BPE=∠APF}\end{array}\right.$，
∴△PFA≌△PEB（ASA），即结论①正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$BC，
又∵EF不一定是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故结论②错误；
∵△PFA≌△PEB，
∴PE=PF，
又∵∠EPF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，故结论③正确；
∵△PFA≌△PEB，
∴S_△PFA=S_△PEB，
∴S_{四边形AEPF}=S_△APE+S_△APF=S_△APE+S_△BPE=S_△APB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故结论④正确；
综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论．
故选（C）

点评本题以旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定及性质，三角形的中位线定理等，综合性较强．根据题意得出△APF≌△BPE是解答此题的关键环节．

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A．

B．

C．

D．

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9．

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