Question

如图，△A₁B₁C₁是边长为1的等边三角形，A₂为等边△A₁B₁C₁的中心，连接
A₂B₁并延长到点B₂，使A₂B₁=B₁B₂，以A₂B₂为边作等边△A₂B₂C₂，A₃为等边
△A₂B₂C₂的中心，连接A₃B₂并延长到点B₃，使A₃B₂=B₂B₃，以A₃B₃为边作等边△A₃B₃C₃，依次作下去得到等边△A_nB_nC_n，则等边△A₅B₅C₅的边长为________．

Answer 1

分析：作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，根据等边三角形的中心的性质得∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁=A₁B₁=，利用余弦的定义得cos∠A₂B₁D₁=cos30°==，可计算出A₂B₁=，由A₂B₁=B₁B₂得到A₂B₂=，用同样的方法可计算出A₃B₃=（）²，于是A₄B₄=（）³，A₅B₅=（）⁴．
解答：解：作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，如图，
∵△A₁B₁C₁是边长为1的等边三角形，A₂为等边△A₁B₁C₁的中心，
∴∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁=A₁B₁=，
∴cos∠A₂B₁D₁=cos30°==，
∴A₂B₁=，
∵A₂B₁=B₁B₂，
∴A₂B₂=，
同理可得∠A₃B₂D₂=30°，B₂D₂=A₂B₂=×=，
∴cos∠A₃B₂D₂=cos30°==，
∴A₃B₂=，
∵A₃B₂=B₂B₃，
∴A₃B₃==（）²=（）²，
同理可得A₄B₄=（）³，
A₅B₅=（）⁴．=
故答案为．
点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了特殊角的三角函数值．