Question

（2013•绍兴模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为（3，0）顶点P的坐标为（1，-4），以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作⊙D的切线，切点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请通过计算判断抛物线是否经过点C；
（3）设M，N 分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标．

Answer 1

分析：（1）可设顶点式，将顶点为A（1，-4），点B（3，0）代入求出抛物线的解析式；
（2）首先求出D点坐标，再利用CD等于圆O半径为

1

2

AB=2，由cos∠PDC=

CD

PD

=

2

4

=

1

2

，得出C点坐标即可，进而判断抛物线是否经过点C即可；
（3）作C关于x轴对称点C′，P关于y轴对称点P′，连接P′C′，与x轴，y轴交于M、N点，此时四边形PNMC周长最小，求出直线P′C′的解析式，求出图象与坐标轴交点坐标即可．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k把h=1，k=-4，代入得；
y=a（x-1）²-4，
把x=3，y=0代入y=a（x-1）²-4，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）²-4，
即：y=x²-2x-3；

（2）作抛物线的对称轴，
把y=0代入y=x²-2x-3解得 x₁=-1，x₂=3，
∴A 点坐标为（-1，0），
∴AB=|3-（-1）|=4，
∴OD=2-1=1，
∴D点坐标为（1，0），
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点D在直线x=1上，
过点C作CE⊥PD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连接DC，
∵PC是⊙D的切线，
∴PC⊥DC，
在Rt△PCD中
∵cos∠PDC=

CD

PD

=

2

4

=

1

2

，∴∠PDC=60°，
解直角三角形CDE，可得DE=1，CE=

3

，
∴C点坐标为（

3

+1，-1），
把x=

3

+1代入y=x²-2x-3得：y=-1，
∴点C在抛物线上；

（3）如图2，作点C关于x轴的对称点C′，点P关于y轴的对称点P′，连接P′C′，分别交x轴，y轴于M，N两点，
此时四边形PNMC的周长最小，
∵C点坐标为（

3

+1，-1），
∴C′点坐标为（

3

+1，1），
∵P的坐标为（1，-4），
∴P′的坐标为（-1，-4），
代入y=kx+b中，

( 3 +1)k+b=1 -k+b=-4

，
解得：

k=-5 3 +10 b=-5 3 +6

，
则直线P′C′的解析式为：y=（-5

3

+10）x-5

3

+6，
当x=0，y=-5

3

+6，
故N点坐标为：（0，-5

3

+6），
当y=0，则0=（-5

3

+10）x-5

3

+6，
解得：x=

3+4 3

5

，
故M点坐标为：（

3+4 3

5

，0）．

点评：本题考查了用顶点式求出二次函数的解析式以及利用对称性求出四边形最小值，利用轴对称找到M，N的位置是解题关键．