Question

如图，将抛物线y=x²沿x轴正方向平移3个单位得到抛物线l，直线y=-2．
（1）求抛物线l的解析式；
（2）点A是抛物线l上一点，点B是直线y=-2上一点，是否存在等腰△OAB？若存在，求点A，B两点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若将上题中的“沿x轴正方向平移3个单位”改为“沿x轴正方向平移n个单位”，其它条件不变，探究上题（2）中的问题．

Answer 1

解：（1）抛物线y=x²沿x轴正方向平移3个单位得到抛物线l的解析式为y=（x-3）²；

（2）存在，当OA=OB时，即AB关于x轴对称时，三角形OAB为的等腰三角形，
设B点坐标为（x，-2）则A点坐标为A（x，2），
又∵点A是抛物线l上一点，
∴（x-3）²=2，解得x=3+或x=3-，
∴AB两点的坐标分别为A（3+，2），B（3+，-2）或为A（3-，2），B（3-，-2）；

（3）抛物线y=x²沿x轴正方向平移n个单位得到抛物线l的解析式为y=（x-n）²；
若三角形OAB为的等腰三角形，则OA=OB，即AB关于x轴对称，
设B点坐标为（x，-2）则A点坐标为A（x，2），
又∵点A是抛物线l上一点，
∴（x-n）²=2，解得x=n+或x=n-，
∴AB两点的坐标分别为A（n+，2），B（n+，-2）或为A（n-，2），B（n-，-2）；
分析：（1）根据平移的性质即可得出抛物线l的解析式；
（2）存在，根据等腰三角形的性质，OA=OB，根据这一条件和点A在抛物线上的条件便可求出A、B两点的坐标；
（3）先求出抛物线y=x²沿x轴正方向平移n个单位后的抛物线的解析式，再根据等腰三角形的性质便可求出A、B两点的坐标．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．