Question

10．如图，将矩形ABCD的一个角沿着直线EF翻折得到△EC′F，令△EC′F与矩形ABCD重合部分的面积为S，当点E与点D重合时停止，设CF=t，EC=2t，S与t的函数图象如图2所示：

（1）m=3；
（2）求S与r的函数关系式及t的取值范围；
（3）问：S是否为12？若能，求出t的值；不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积公式即可得到答案．
（2）分三种情形讨论①0＜t≤3，此时s=S_△EFC②3＜t$≤\frac{24}{5}$，此时s=S_{四边形EFNK}③$\frac{24}{5}$＜t≤7，此时s=S_△ENK．
（3）当3＜t≤$\frac{24}{5}$时，根据方程解方程即可．

解答 解：（1）由题意$\frac{1}{2}$•t•2t=9，
解得t=3（或-3舍弃），
∴m=3，
故答案为3．
（2）当0＜t≤3时，s=S_△EFC′=$\frac{1}{2}$•t•2t=t²，
当t=3时，如图1，由题意CF=FC′=3，EC=6，作EM⊥AB垂足为M，设BF=x，
∵∠EMB=∠MBC=∠C=90°，
∴四边形EMBC是矩形，
∴EC=BM=6，EM=BC=3+x，EC=EC′=6，
∵∠E′CM+′FC′B=90°，∠FC′B+′C′FB=90°，
∴∠ECM=∠C′FB，
∴△EC′M∽△C′FB，
∴$\frac{EC′}{C′F}=\frac{EM}{BC′}$，
∴$\frac{6}{3}=\frac{3+x}{\sqrt{9-{x}^{2}}}$，
解得x=$\frac{9}{5}$，
∴BC=$\frac{24}{5}$
∴当3＜t≤$\frac{24}{5}$时，如图2，作EM⊥AB垂足为M，
由（1）可知在RT△EMK中，∵EM=BC=$\frac{24}{5}$，EK=6，
∴MK=$\frac{18}{5}$，
∵∠FNB=∠KNC′，∠KNC′+∠C′KN=90°，∠NKC′=′EKM，∠MEK+∠EKM=90°，
∴∠FNB=∠MEK，
∵∠EMK=∠FBN=90°，
∴△EMK∽△NBF，
∴$\frac{EK}{NF}=\frac{MK}{FB}$，
∴$\frac{6}{FN}=\frac{\frac{18}{5}}{\frac{24}{5}-t}$，
∴FN=$\frac{5}{3}（\frac{24}{5}-t）$，NC′=FC′-NF=t-$\frac{5}{3}（\frac{24}{5}-t）$，
∵∠EMK=∠C′=90°，∠EKM=∠NKC′，
∴△EMK∽△CNK，
∴$\frac{EM}{C′N}=\frac{MK}{C′K}$，
∴$\frac{\frac{24}{5}}{t-\frac{5}{3}（\frac{24}{5}-t）}=\frac{\frac{18}{5}}{C′K}$
∴C′K=$\frac{3}{4}$[t-$\frac{5}{3}$（$\frac{24}{5}-t$）]，
∴s=S_{四边形EFNK}=S_△EFC′-S_△KNC′=t²-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$[t-$\frac{5}{3}$（$\frac{24}{5}$-t）]²=-$\frac{5}{3}$t²+16t-24．
当$\frac{24}{5}$＜t≤7时，如图3，∵∠CEN=∠NEK=∠ENK，
∴EK=KN=6，
∴s=S_△ENK=$\frac{1}{2}$•KN•EM=$\frac{1}{2}×6×\frac{24}{5}$=$\frac{72}{5}$．
综上所述：s=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}}&{（0＜t≤3）}\\{-\frac{5}{3}{t}^{2}+16t-24}&{（3＜t≤\frac{24}{5}）}\\{\frac{72}{5}}&{（\frac{24}{5}＜t≤7）}\end{array}\right.$．
（3）能．
-$\frac{5}{3}{t}^{2}+16t-24=12$，
解得到t=$\frac{18}{5}$（或6舍弃），
∴t=$\frac{18}{5}$时，重叠部分面积为12．

点评 本题考查翻折变换的有关性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、重叠部分面积的计算，正确画出图形确定变量t的取值范围是解决问题的关键．