如图①.O为坐标原点.点B在x轴的正半轴上.四边形OACB是平行四边形.sin∠AOB=.反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A.与BC交于点F． (1)若OA=10.求反比例函数解析式, (2)若点F为BC的中点.且△AOF的面积S=12.求OA的长和点C的坐标, 中的条件下.过点F作EF∥OB.交OA于点E.点P为直线EF上的一个动点.连接PA.PO．是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．

（1）若OA=10，求反比例函数解析式；

（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；

（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：

反比例函数综合题．

分析：

（1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB=，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；

（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=，得出AH=a，OH=a，求出S_△AOH的值，根据S_△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S_△OBF=6，

根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S_△BMF=BM•FM，S_△FOM=6+a²，再根据点A，F都在y=的图象上，S_△AOH=k，求出a，最后根据S_{平行四边形AOBC}=OB•AH，得出OB=AC=3，即可求出点C的坐标；

（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P₁，P₂；当∠PAO=90°时，求出P₃；当∠POA=90°时，求出P₄即可．

解答：

解：（1）过点A作AH⊥OB于H，

∵sin∠AOB=，OA=10，

∴AH=8，OH=6，

∴A点坐标为（6，8），根据题意得：

8=，可得：k=48，

∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；

（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，

∵sin∠AOB=，

∴AH=a，OH=a，

∴S_△AOH=•aa=a²，

∵S_△AOF=12，

∴S_{平行四边形AOBC}=24，

∵F为BC的中点，

∴S_△OBF=6，

∵BF=a，∠FBM=∠AOB，

∴FM=a，BM=a，

∴S_△BMF=BM•FM=a•a=a²，

∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=6+a²，

∵点A，F都在y=的图象上，

∴S_△AOH=k，

∴a²=6+a²，

∴a=，

∴OA=，

∴AH=，OH=2，

∵S_{平行四边形AOBC}=OB•AH=24，

∴OB=AC=3，

∴C（5，）；

（3）存在三种情况：

当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P₁（，），P₂（﹣，），

当∠PAO=90°时，P₃（，），

当∠POA=90°时，P₄（﹣，）．

点评：

此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解．

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