Question

（1998•上海）已知△ABC中，AB=AC=6，cosB=

1

3

，点O在边AB上，圆O过点B且分别与边AB、BC交于点D、E，⊙O与边AC不相交，又EF⊥AC，垂足为F，设OB=x，CF=y．
（1）求证：直线EF是圆O的切线；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出这个函数的定义域；
（3）当直线DF与圆O相切时，求OB的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接OE，由AB=AC=6，易证得OE∥AC，又由EF⊥AC，即可证得直线EF是圆O的切线；
（2）求y关于x的函数关系式，可以证明△BOE∽△BAC，然后由相似三角形的对应边成比例，可用x表示出BE的长，又由三角函数的性质，即可求得y关于x的函数解析式，当圆与AC相切时可得OB的长，据此即可得到x的取值范围；
（3）首先连接OE，OF，DE，由EF、DF与⊙O相切，易证四边形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的长．

解答：（1）证明：如图1，连接OE，
∵OE=OB，
∴∠B=∠OEB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OEB=∠C．
∴OE∥AC．
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE．
∵点E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．

（2）解：如图2，作AH⊥BC，H为垂足，并连接OE，
∵AB=AC，
∴BH=

1

2

BC，
∵AB=6，cosB=

1

3

，
∴BH=2，
∴BC=4．
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴

BE

BC

=

OE

AC

．
即

BE

4

=

x

6

．
∴BE=

2

3

x．
∴EC=4-

2

3

x．
在Rt△ECF中，cosC=cosB=

1

3

，
∴CF=EC•cosC=（4-

2

3

x）•

1

3

．
∴所求函数的关系式为y=

4

3

-

2

9

x．
如图3，当⊙0与AC相切时，设切点为G，
连接OE，OG，
∵EF是切线，
∴OE⊥EF，OG⊥AC，
∵EF⊥AC，
∴四边形OEFG是矩形，
∵OE=OG，
∴四边形OEFG是正方形，
即EF=OE=x，
∵cosC=

1

3

，
∴sinC=

2 2

3

，
∵在Rt△CEF中，sinC=

EF

EC

=

2 2

3

，
即

x

4- 2 3 x

=

2 2

3

，
解得：x=

216 2 -192

49

，
∴这个函数的定义域为：0＜x＜

216 2 -192

49

；

（3）解：如图4，连接OE，DE，OF，
∵EF、DF与⊙O相切，
∴FD=FE，∠DFO=∠EFO．
∴OF垂直平分DE．
∵BD是直径，
∴∠DEB=90°，
∴BC⊥DE．
∴OF∥BC．
∴四边形OBCF是等腰梯形．
∴OB=CF，
得：

4

3

-

2

9

x=x，
解得：x=

12

11

．
即OB=

12

11

．

点评：本题考查的是切线的判定与性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．