Question

3．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，延长AB交FD的延长线于点M，连接MC．
求证：FM=FC．

Answer 1

分析 如图，首先证明DF⊥AE，DF=AF=EF，这是解决问题的关键性结论；运用AAS公理证明△DFC≌△AFM，得到MF=CF，即可解决问题．

解答 证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF；
又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF；在△DFC与△AFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠AFM}\\{∠DCF=∠AMF}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴MF=CF．

点评 该题主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握全等三角形的判定等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键．