Question

在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（-8，0）和（0，6）．将矩形OABC绕点O顺时针旋转α度，得到四边形OA′B′C′，使得边A′B′与y轴交于点D，此时边OA′、B′C′分别与BC边所在的直线相交于点P、Q．
（1）如图1，当点D与点B′重合时，求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）如图2，若点D与点B′不重合，则的值是否发生变化？若不变，试证明你的结论；若有变化，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转α度，得到四边形OA'B'C'，
且A、C的坐标分别为（-8，0）和（0，6），
∴OA'=OA=8，A'B'=AB=OC=6
∴
∴点D的坐标为（0，10）

（2）∵OB'=10，CO=6，∴B'C=4
∵，且CO=6，
∴
同理CQ=3
∴
∴
（或：∵
∴）

（3）如图所示，作C′E∥OA交OP于点E，
∵C′E∥OA，且PE∥CQ，
∴四边形PEC′Q是平行四边形，
∴PQ=C′E，
∵C′E⊥OD，A′B′⊥A′O，
∴∠C′EO+∠EOD=90°，∠ODA′+∠EOD=90°
∴∠C'EO=∠ODA'
又∵∠EOC'=∠DA'O=90°
∴△C'EO∽△ODA′
∴
∴的值不会发生改变．
分析：（1）将坐标转化为矩形边长，再用勾股定理求矩形对角线OB的长，可得点D的坐标；
（2）因为OC=AB=6，利用∠A′OB′的正切值可求PC，同理可求CQ，已知OD，可求的值；
（3）用平移法将PQ平移到C′E的位置，证明△OC′E∽△A′OD，可证==（定值）
点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的相关知识．