Question

【题目】如图，点P在射线AB的上方，且∠PAB=45°，PA=2，点M是射线AB上的动点（点M不与点A重合），现将点P绕点A按顺时针方向旋转60°，到点Q，将点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N，连结AQ，PM，PN，作直线QN．
（1）求证：AM=QN；
（2）直线QN与以点P为圆心，以PN的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时AM的长，若不存在，请说明理由；
（3）当以点P为圆心，以PN的长为半径的圆经过点Q时，直接写出劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接PQ，

由点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q，

可得，AP=AQ，∠PAQ=60°，

∴△APQ为等边三角形，

∴PA=PQ，∠APQ=60°，

由点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N，

可得，PM=PN，∠MPN=60°，

∴∠APM=∠QPN，

则△APM≌△QPN（SAS），

∴AM=QN

（2）解：存在．

如图2，

由（1）中的证明可知，△APM≌△QPN，

∴∠AMP=∠QNP，

∵直线QN与以点P为圆心，以PN的长为半径的圆相切，

∴∠AMP=∠QNP=90°，

即：PN⊥QN，

在R△APM中，∠PAB=45°，PA=2，

∴AM=

（3）解：如图3，

由（1）知，△APQ是等边三角形，

∴PA=PQ，∠APQ=60°，

∵以点P为圆心，以PN的长为半径的圆经过点Q，

∴PN=PQ=PA，

∵PM=PN，

∴PA=PM，

∵∠PAB=45°，

∴∠APM=90°，

∴∠MPQ=∠APM﹣∠APQ=30°，

∵∠MPN=60°，

∴∠QPN=90°，

∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积是扇形QPN的面积，而此扇形的圆心角∠QPN=90°，半径为PN=PM=PA=2，

∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积= =π．

【解析】（1）根据旋转的旋转判断出△APQ为等边三角形，再判断出∠APM=∠QPN，从而得出△APM≌△QPN即可；（2）由直线和圆相切得出∠AMP=∠QNP=90°，再用勾股定理即可求出结论；（3）先判断出PA=PQ，再判断出PQ=PN=PM，进而求出∠QPM=30°，即可求出∠QPN=90°，最后用扇形的面积公式即可．