Question

5．在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD时等腰三角形时，AP的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{39}{16}$．

Answer 1

分析 首先证明四边形AEA′F是菱形，分两种情形：①CA′=CD，②A′C=A′D分别计算即可．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，
∵EF⊥AA′，
∴∠EPA=∠FPA=90°，
∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，
∴∠AEP=∠AFP，
∴AE=AF，
∵△A′EF是由△AEF翻折，
∴AE=EA′，AF=FA′，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四边形AEA′F是菱形，
∴AP=PA′
①当CD=CA′时，∵AA′=AC-CA′=3，
∴AP=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{3}{2}$．
②当A′C=A′D时，∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC，
∴△A′CD∽△DAC，
∴$\frac{A′C}{AD}$=$\frac{DC}{AC}$，
∴A′C=$\frac{25}{8}$，
∴AA=8-$\frac{25}{8}$=$\frac{39}{8}$，
∴AP=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{39}{16}$．
故答案为$\frac{3}{2}$或$\frac{39}{16}$．

点评 本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．