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【题目】如图,RtABC中,M为斜边AB上一点,且MB=MC=AC=8cm,平行于BC的直线l从BC的位置出发以每秒1cm的速度向上平移,运动到经过点M时停止. 直线l分别交线段MB、MC、AC于点D、E、P,以DE为边向下作等边DEF,设DEF与MBC重叠部分的面积为Scm2,直线l的运动时间为t

1求边BC的长度;

2求S与t的函数关系式;

3在整个运动过程中,是否存在这样的时刻t,使得以P、C、F为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由

4在整个运动过程中,是否存在这样的时刻t,使得以点D为圆心、BD为半径的圆与直线EF相切?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由

【答案】1 82 当0<t≤3时,S=﹣t2+8t;当3<t≤4时,S= 3t2﹣24t+483 t=4 t=

【解析】

试题分析:1利用直角三角形的性质和锐角三角函数即可;

2分两段求出函数关系即可;

3进行分类讨论即可求出t的值;

4若相切,利用点到圆心的距离等于半径列出方程即可.

试题解析:1∵M为斜边中点,

∴∠B=MCB=α,

∴∠AMC=2α,

∵MC=MA,

∴∠A=∠AMC=2α,

∴∠B+∠A=90°,

∴α+2α=90°,

∴α=30°,

∴∠B=30°,

∵cotB=

∴BC=AC×cotB=8

2由题意,若点F恰好落在BC上,

∴MF=44﹣t=4,

∴t=3.

当0<t≤3时,如图,

∴BD=2t,DM=8﹣2t,

∵l∥BC,

∴DE=8﹣2t

∴点D到EF的距离为FJ=DE=34﹣t

∵l∥BC,

∵FN=FJ﹣JN=34﹣t﹣t=12﹣4t,

∴HG=3﹣t

S=S梯形DHGE=HG+DE×FN=﹣t2+8t

当3<t≤4时,重叠部分就是△DEF,

S=S△DEF=DE2=3t2﹣24t+48

3当0<t≤3时,∠FCP≥90°,

∴FC>CP,

∴△PCF不可能为等腰三角形

当3<t≤4时,若△PCF为等腰三角形,

∴只能FC=FP,

=34﹣t

∴t=

4若相切,

∵∠B=30°,

∴BD=2t,DM=8﹣2t,

∵l∥BC,

∴DE=8﹣2t

∴点D到EF的距离为DE=34﹣t

∴2t=34﹣t

解得t=

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