【题目】如图,Rt△ABC中,M为斜边AB上一点,且MB=MC=AC=8cm,平行于BC的直线l从BC的位置出发以每秒1cm的速度向上平移,运动到经过点M时停止. 直线l分别交线段MB、MC、AC于点D、E、P,以DE为边向下作等边△DEF,设△DEF与△MBC重叠部分的面积为S(cm2),直线l的运动时间为t(秒).
(1)求边BC的长度;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)在整个运动过程中,是否存在这样的时刻t,使得以P、C、F为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
(4)在整个运动过程中,是否存在这样的时刻t,使得以点D为圆心、BD为半径的圆与直线EF相切?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 8;(2) 当0<t≤3时,S=﹣t2+8t;当3<t≤4时,S= 3t2﹣24t+48.(3) t=(4) t=.
【解析】
试题分析:(1)利用直角三角形的性质和锐角三角函数即可;
(2)分两段求出函数关系即可;
(3)进行分类讨论即可求出t的值;
(4)若相切,利用点到圆心的距离等于半径列出方程即可.
试题解析:(1)∵M为斜边中点,
∴∠B=MCB=α,
∴∠AMC=2α,
∵MC=MA,
∴∠A=∠AMC=2α,
∴∠B+∠A=90°,
∴α+2α=90°,
∴α=30°,
∴∠B=30°,
∵cotB=,
∴BC=AC×cotB=8;
(2)由题意,若点F恰好落在BC上,
∴MF=4(4﹣t)=4,
∴t=3.
当0<t≤3时,如图,
∴BD=2t,DM=8﹣2t,
∵l∥BC,
∴,
∴,
∴DE=(8﹣2t).
∴点D到EF的距离为FJ=DE=3(4﹣t),
∵l∥BC,
∴,
∵FN=FJ﹣JN=3(4﹣t)﹣t=12﹣4t,
∴HG=(3﹣t)
S=S梯形DHGE=(HG+DE)×FN=﹣t2+8t
当3<t≤4时,重叠部分就是△DEF,
S=S△DEF=DE2=3t2﹣24t+48.
(3)当0<t≤3时,∠FCP≥90°,
∴FC>CP,
∴△PCF不可能为等腰三角形
当3<t≤4时,若△PCF为等腰三角形,
∴只能FC=FP,
∴=3(4﹣t),
∴t=
(4)若相切,
∵∠B=30°,
∴BD=2t,DM=8﹣2t,
∵l∥BC,
∴,
∴,
∴DE=(8﹣2t).
∴点D到EF的距离为DE=3(4﹣t)
∴2t=3(4﹣t),
解得t=.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:
时间x(天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
售价(元/件) | x+40 | 90 |
每天销量(件) | 200-2x |
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;
(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】O为直线l外一点,A,B,C三点在直线l上,OA=4cm,OB=5cm,OC=1.5cm.则点O到直线l的距离( )
A. 大于1.5cm B. 等于1.5cm C. 小于1.5cm D. 不大于1.5cm
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