Question

有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为24．
请你确定满足上述全部特点的一个二次函数解析式．

Answer 1

解：（这是一道开放性题，答案不惟一）设二次函数的图象与x轴的交点坐标为（x₁，0），（x₂，0），解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）．
由甲可知x₁+x₂=8，由乙可知x₁，x₂都是整数，不妨设x₁=2，x₂=6，
∴y=a（x-2）（x-6）=a（x²-8x+12）；
令x=0，则y=12a，
∴与y轴的交点为（0，12a）；
由丙可知，S_△=（ x₂-x₁）•12a=24，
∴24a=24，
∴a=1，
∴y=x²-8x+12．
分析：设二次函数的图象与x轴的交点坐标为（x₁，0），（x₂，0），解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）．利用对称轴方程的定义可知x₁+x₂=8、由已知条件“与x轴两个交点的横坐标都是整数”可设x₁=2，x₂=6（此时，x₁、x₂的值不唯一），由此可以求得该函数图象与y轴的交点；最后根据三角形的面积公式列出关于a的方程，通过解方程可以求得a值．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题．此题属于开放型题目，答案不唯一．解题时可以根据x₁+x₂=8灵活取x₁、x₂的整数值．