Question

如图，已知△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点D．
（1）猜测：线段AM和BN有怎样的数量关系？并给出你的证明；
（2）求∠ADN的度数．

Answer 1

解：（1）猜测：AM=BN，
证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN，
∴AM=BN；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠NBC，
∵∠ADN=∠ABD+∠BAD，
∴∠ADN=∠ABD+∠NBM=∠ABC=60°．
分析：（1）猜测：AM=BN，根据等边三角形的性质求得∠ABC=∠ACB=60°，再由SAS证明全等即可；
（2）根据全等三角形的性质：对应角相等，求得∠BAM=∠NBC，利用三角形的外角和定理可得∠ADN=∠ABD+∠BAD，所以∠ADN=∠ABD+∠NBM=∠ABC=60°．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质．利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键．在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便．