【题目】如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8 cm，点P在CD边上，AP=AB， PC=4cm，连结PB．点M从点P出发，沿PA方向匀速运动（点M与点P、A不重合）；点N同时从点B出发，沿线段AB的延长线匀速运动，连结MN交PB于点F．
（1）求AB的长；
（2）若点M的运动速度为1cm/s，点N的运动速度为2cm/s，△AMN的面积为S，点M和点N的运动时间为
，求S与
的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点M和点N的运动速度相等，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
【答案】（1）10；（2）
时，S取得最大值为45．（3）点M、N在运动过程中，线段EF的长度不变，长度为
．
【解析】试题分析：（1）设AB=x，根据折叠可得AP=CD=x，DP=CD-CP=x-4，利用勾股定理，在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2，即82+（x-4）2=x2，即可解答；（2）过点M作MG⊥AN于点G，则∠AGM=∠D＝90°，所以∠APD=∠MAG，则Rt△APD∽Rt△MAG，所以
，即
，可得出
， 又因为
，所以
，则当
时，S取得最大值为45；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据MH⊥PQ，得出HQ=
PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=
QB，再求出EF=
PB，最后代入HF=
PB即可得出线段EF的长度不变；
试题解析：
（1）设AB= 
，则AP= 
，DP= 
，
在Rt△ADP中， 由勾股定理得：
，
解得： 
，
∴AB =10．
（2）过点M作MG⊥AN于点G，则∠AGM=∠D＝90°，
∵DC∥AB，
∴∠APD=∠MAG，
∴Rt△APD∽Rt△MAG，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
∴当
时，S取得最大值为45．
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，
∴∠APB=∠MQP，
∴MP=MQ，
∵ME⊥PQ，
∴PE=EQ=
PQ，
∵BN=PM，PM=MQ，
∴BN=QM，
∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
∵
，
∴△MFQ≌△NFB，
∴QF=BF，
∴QF=
QB，
∴EF=EQ+QF=
PQ+
QB=
PB，
在Rt△PBC中，
∵PC=4，BC=8，
∴
，
∴EF=
PB=
，
∴点M、N在运动过程中，线段EF的长度不变，长度为
．
名校课堂系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】（12分）实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期三个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了 名同学，其中C类女生有 名，D类男生有 名；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】去年入秋以来，某省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在△ABC中， AC=6， BC=4．
（1）用直尺和圆规作∠ACB的角平分线CD，交AB于点D；
(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)
（2）在（1）所作的图形中，若△ACD的面积为3，求△BCD的面积．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）． 
（1）用的代数式表示PC的长度；
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为－4、2，O为原点，点M是线段AB的中点，在线段AB上取点C，使AC = 
BC. 则：
（1）求点M和点C所表示的有理数；
（2）点M是线段OC的中点吗？为什么？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为（ ）
A.x>3
B.x>－1
C.x<3
D.x<－1
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