Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为（　　）

• A、

  4

  3

• B、3-

  3

• C、

  4

  3

  或3-

  3

• D、

  4

  3

  或3-

  3

  或

  3

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：分类讨论

分析：应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ABC，可将时间t求出；当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ACB，可将时间t求出．

解答：解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
在Rt△ABC中，BC=2cm，∠ABC=60°．
∴∠A=30°，则AB=2BC=4cm，
根据勾股定理得到AC=

42-22

=2

3

∵BP=2tcm，AQ=t
∴AP=AB-BP=（4-2t）cm，
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，
∴0＜t≤2．
分两种情况考虑：①当PQ⊥AC时，PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

2 3

=

4-2t

4

，
解得：t=3-

3

；
②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB，则

AP

AC

=

AQ

AB

，
即

4-2t

2 3

=

t

4

，
解得：t=

32-8 3

13

．
故选B．

点评：本题考查圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间t时应分情况进行讨论，防止漏解．