Question

如图，反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（-

3

，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为

3

．
（1）求k和b的值．
（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，与反比例函数的图象交于另一点C（2

3

，-1）．
①求AO：AM的值．
②求方程ax+1-

k

x

=0的解（请直接写出答案）
③求不等式ax+1-

k

x

＜0的解集（请直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）根据点A（-

3

，b）知OB=

3

，由△AOB的面积为

3

求出b，再由A点坐标求出k；
（2）①由一次函数y=ax+1的图象经过点A求出a，得函数解析式，再求M的坐标，得BM的长；在△AOB中求OA的长，最后求比值，
②根据ax+1=

k

x

相等时，即为图象横坐标交点，得出x的值，进而得出答案；
③由ax+1-

k

x

＜0，得出ax+1＜

k

x

，即反比例函数大于一次函数，看在哪些区间反比例函数的图象在上方即可．

解答：解：（1）∵AB⊥BD，A（-

3

，b），
∴S_△AOB=

1

2

AB•BO=

3

，
即

1

2

b•|-

3

|=

3

，
解得：b=2，
又∵点A在双曲线y=

k

x

上，
∴k=2×（-

3

）=-2

3

；

（2）①∵A（-

3

，2），在直线y=ax+1上
∴2=-

3

a+1　解得：a=-

3

3

∴y=-

3

3

x+1，
当y=0时，x=

3

，
∴M（

3

，0），
∴AO=

AB2+BO2

=

4+3

=

7

，
AM=

AB2+BM2

=

4+(2 3 )2

=4，
∴AO：AM=

7

：4，

②∵求方程ax+1-

k

x

=0的解，即为求y=ax+1，与y=

k

x

图象交点横坐标，根据A，C坐标得出，
∴方程ax+1-

k

x

=0的解为：x₁=-

3

，x₂=2

3

；

③∵由ax+1-

k

x

＜0，得出ax+1＜

k

x

，即反比例函数大于一次函数，
∴不等式ax+1-

k

x

＜0的解集为：-

3

＜x＜0或 x＞2

3

．

点评：本题考查了反比函数综合以及待定系数法的应用，关键要注意根据图象解不等式需从交点看起，图象在上方的对应函数值大．