Question

2．已知点A（-4，0）、B（0，4）、C（-2，0），OD⊥BC于点E交AB于D，求D、E两点的坐标．

Answer 1

分析 先利用待定系数法分别求出直线AB与直线BC的解析式，再根据互相垂直的两条直线斜率之积为-1求出直线OD的解析式，将直线OD与AB的解析式联立组成一个方程组解出点D的坐标，将直线OD与BC的解析式联立组成一个方程组解出点E的坐标．

解答 解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（-4，0）、B（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+4．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
∵B（0，4），C（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{-2m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=2x+4．
∵OD⊥BC，
∴直线OD的斜率=-$\frac{1}{2}$，
∴直线OD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$
所以点D的坐标为：（-$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
所以点E的坐标为：（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

点评 本题是一次函数综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数解析式，互相垂直的两条直线斜率之间的关系，两函数交点坐标的求法，难度适中．正确求出直线AB、直线BC与直线OD的解析式是解题的关键．本题还可以利用相似三角形的知识解答．