Question

6．如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，连接AE，沿AE折叠，使得点D落在正方形内的点F处，连接BF并延长，交AE的延长线于点G．
（1）求tan∠CBG的值；
（2）若AB=2，求△EGF的面积．

Answer 1

分析 （1）过F作BC的平行线，交AB于H，交CD于P，构造相似三角形，设DE=1=FE，EP=x，求得FH=2x，依据在Rt△AHF中，AH²+HF²=AF²，即可得到x=$\frac{3}{5}$，根据HF=$\frac{6}{5}$，HB=AB-AH=$\frac{2}{5}$，即可得出tan∠CBG=tan∠BFH=$\frac{BH}{FH}$=$\frac{1}{3}$；
（2）连接DF交AG于O，则DF⊥AG，得到FO=$\frac{AF×EF}{AG}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，根据tan∠CBG=$\frac{1}{3}$，得到EQ=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，再根据△GEQ∽△GAB，得出$\frac{GE}{GA}=\frac{EQ}{AB}$，求得GE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，根据△EGF的面积=$\frac{1}{2}$GE×FO进行计算即可．

解答 解：（1）如图，过F作BC的平行线，交AB于H，交CD于P，则HP与AB、CD都垂直，
设DE=1=FE，EP=x，则正方形的边长为2，DP=1+x=AH，
由折叠可得，AF=AD=2，∠AFE=∠ADE=90°，
∴∠FAH=∠EFP，
∴△FAH∽△EFP，
∴$\frac{HF}{PE}=\frac{AF}{FE}$，即$\frac{FH}{x}=\frac{2}{1}$，
∴FH=2x，
在Rt△AHF中，AH²+HF²=AF²，
∴（1+x）²+（2x）²=2²，
解得x=$\frac{3}{5}$，（负值已舍去）
∴HF=$\frac{6}{5}$，HB=AB-AH=$\frac{2}{5}$，
∴tan∠CBG=tan∠BFH=$\frac{BH}{FH}$=$\frac{1}{3}$；

（2）如图，连接DF交AG于O，则DF⊥AG，
∵AB=2，
∴AF=2，EF=1，AE=$\sqrt{5}$
∴FO=$\frac{AF×EF}{AG}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
∵tan∠CBG=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CQ}{BC}$=$\frac{1}{3}$，即CQ=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{2}{3}$，
∴EQ=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∵EQ∥AB，
∴△GEQ∽△GAB，
∴$\frac{GE}{GA}=\frac{EQ}{AB}$，即$\frac{GE}{GE+\sqrt{5}}=\frac{\frac{1}{3}}{2}$，
解得GE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴△EGF的面积=$\frac{1}{2}$GE×FO=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2}{5}\sqrt{5}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，正方形的性质，解直角三角形，勾股定理以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例列式计算．