Question

19．如图是反比例函数${y_1}=\frac{3}{x}$和${y_2}=\frac{12}{x}$在第一象限的图象，等腰直角△ABC的直角顶点B在y₁上，顶点A在y₂上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，则CD：AD=$\frac{\sqrt{13}+1}{6}$．

Answer 1

分析 过D作DE⊥BC于E，设B（a，$\frac{3}{a}$），A（4a，$\frac{3}{a}$）得到AB=3a，根据AB=BC列方程得到a=1，求得A（4，3），B（1，3）设D（m，$\frac{3}{m}$），根据DE=CE，列方程得到CE=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，得到BE=3-$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$=$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$，然后根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．

解答 解：过D作DE⊥BC于E，
∴DE∥AB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∴CE=DE，
设B（a，$\frac{3}{a}$），
∵AB∥x轴，
∴A（4a，$\frac{3}{a}$）
∴AB=3a，
∵AB=BC，
∴3a=$\frac{3}{a}$，
∴a=1，
∴A（4，3），B（1，3）
设D（m，$\frac{3}{m}$），
∴DE=m-1，
∵DE=CE，∴m-1=$\frac{3}{m}$，
∴m=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，
∴CE=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，
∴BE=3-$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$=$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$，
∵DE∥AB，
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{\sqrt{13}+1}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}+1}{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．