Question

（2012•遂宁）已知：如图，直线y=mx+n与抛物线y=

1

3

x2+bx+c交于点A（1，0）和点B，与抛物线的对称轴x=-2交于点C（-2，4），直线f过抛物线与x轴的另一个交点D且与x轴垂直．
（1）求直线y=mx+n和抛物线y=

1

3

x2+bx+c的解析式；
（2）在直线f上是否存在点P，使⊙P与直线y=mx+n和直线x=-2都相切．若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在线段AB上有一个动点M（不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，当MN的长为多少时，△ABN的面积最大，请求出这个最大面积．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法可以求出直线y=mx+n的解析式；在解二次函数的解析式时，可由其对称轴方程求出b的值，再代入A点的坐标可以求出c的值．
（2）此题需要从图形入手，显然在直线AB的上下方各有一个符合条件的P点，那么可以将图形进行简化（如解答部分的图示），在简化的图形中，△P₁E₁F≌△PEF且△PEF∽△ADF；圆的半径可由直线f和直线x=-2的距离得出（即PE、P₁E₁的长），AD、FD的长不难得到，那么由相似三角形即可求出PF的长，进而能求出PD、P₁D的长，由此求出圆心的坐标．
（3）点B的坐标不难求出，根据直线AB和抛物线的解析式，可以先用一个未知数表达出点M、N的坐标，以MN为底，A、B点的横坐标差的绝对值为高（也可将△ABN分成两个三角形来分析），即可得到关于△ABN的面积和未知数的函数解析式，根据函数的性质求解即可．

解答：解：（1）将A（1，0）、C（-2，4）代入直线y=mx+n得：

m+n=0 -2m+n=4

，
解得：

m=- 4 3 n= 4 3

，
故直线解析式为：y=-

4

3

x+

4

3

．
将A（1，0）代入抛物线y=

1

3

x2+bx+c及对称轴为直线x=-2得：

- b 2× 1 3 =-2 1 3 +b+c=0

，
解得：

b= 4 3 c=- 5 3

，
故抛物线解析式为：y=

1

3

x2+

4

3

x-

5

3

．

（2）存在．
如图1，图形简化为图2

直线f解析式：x=-5，故圆半径R=3，且F（-5，8）．
易得△PEF∽△ADF，△P₁E₁F≌△PEF，其中PE=P₁E₁=R=3，AD=6，FD=8，P₁F=PF．
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF=10，由

AD

PE

=

AF

PF

得：PF=5．
∴PD=13，P₁D=3．
∴P（-5，13）、P₁（-5，3）．
综上可得存在点P的坐标为（-5，13）或（-5，3）．

（3）如图3：
联立直线与抛物线解析式得：

y= 1 3 x2+ 4 3 x- 5 3 y=- 4 3 x+ 4 3

，
解得交点B的坐标：（-9，

40

3

）．
设点M（q，-

4

3

q+

4

3

），N（q，

1

3

q²+

4

3

q-

5

3

），
所以：MN=（-

4

3

q+

4

3

）-（

1

3

q²+

4

3

q-

5

3

）=-

1

3

q²-

8

3

q+3=-

1

3

（q+4）²+

25

3

．
S_△ABN=S_△AMN+S_△BMN=

1

2

MN•AF+

1

2

MN•BE=

1

2

MN（AF+BE）=5MN=-

5

3

（q+4）²+

125

3

．
当q=-4时，S_△ABN有最大值

125

3

；此时：MN=

25

3

．

点评：此题考查了函数解析式的确定、直线和圆的位置关系、相似三角形以及全等三角形的应用、三角形面积的求法等重要知识点；（2）题中，对图形进行简化能使得繁杂的题目更加直观；最后一题是二次函数综合题中考查频率比较大的一种类型题，需要牢固掌握．