Question

如图，在矩形ABCD中，BC=3cm，DC=4cm，将该矩形沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE与边CD交于点F．
（1）求EF的长；
（2）连接DE，求四边形ACED的面积与周长各是多少？

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，BC=3cm，DC=4cm，
∴AD=BC=3cm，AB=DC=4cm，CD∥AB，
∴AC==5cm，∠2=∠3，
∵将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，
∴∠1=∠2，AE=AB=4cm，EC=BC=3cm，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，
设EF=xcm，则CF=AF=（4-x）cm，
在Rt△EFC中，EF²+EC²=FC²，即x²+3²=（4-x）²，解得x=，即EF=cm；

（2）由（1）可知：AF=CF，∠1=∠3，
∵AE=CD，
∴DF=EF，
∴∠4=∠5，
∴∠1=∠5=∠4=∠3，
∴DE∥AC，
∵AD=CE=3cm，且AD与CE不平行，
∴四边形ACED是等腰梯形，
过点D、E分别作DM⊥AC于点M、EN⊥AC于点N，则四边形DMNE为矩形，
∴AM=BN，DE=MN，
在Rt△ACD中，DM•AC=AD•DC，则DM==，
在Rt△ADM中，AM==，
∴CN=，
∴DE=MN=5--=，
∴四边形ACED的周长为3+3+5+=（cm）；
四边形ACED的面积=（5+）×=（cm²）．
分析：（1）根据矩形的性质得AD=BC=3cm，AB=DC=4cm，CD∥AB，根据勾股定理可计算出AC=5cm，再根据折叠的性质得∠1=∠2，AE=AB=4cm，EC=BC=3cm，则∠1=∠3，所以AF=CF，设EF=xcm，则CF=AF=（4-x）cm，然后在Rt△EFC中利用勾股定理可计算出x；
（2）由于AF=CF，∠1=∠3，AE=CD，则DF=EF，所以∠4=∠5，于是∠1=∠5=∠4=∠3，得到DE∥AC，而AD=CE=3cm，且AD与CE不平行，所以可判断四边形ACED是等腰梯形，过点D、E分别作DM⊥AC于点M、EN⊥AC于点N，则四边形DMNE为矩形，根据等腰图形的性质易得AM=BN，DE=MN，在Rt△ACD中，利用面积法克计算出DM==，
在Rt△ADM中，利用勾股定理计算出AM=，则DE=MN=，然后根据等腰梯形的周长和面积公式求解．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；也考查了勾股定理、矩形的性质以及等腰梯形的判定与性质．