Question

已知抛物线y=ax²+bx-1经过点A（-1，0）、B（m，0）（m＞0），且与y轴交于点C．
（1）求a、b的值（用含m的式子表示）；
（2）如图所示，⊙M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的式子表示）；
（3）在x轴上方，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求m的值．

Answer 1

解：（1）依题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x²+x-1；

（2）∵x=0时，y=-1，
∴C（0，-1），
∵OA=OC，
∴∠OAC=45°，
∴∠BMC=2∠OAC=90°．
又∵，
∴；

（3）如图，由抛物线的对称性可知，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，
则P关于对称轴的对称点P'也符合题意，即P、P'对应的m值相同．下面以点P在对称轴右侧进行分析：
情形一：若△ABC∽△APB，
∴∠PAB=∠BAC=45°，，
过P作PD⊥x轴垂足为D，连PA、PB．
在Rt△PDA中，∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PD=AD，
∴可令P（x，x+1），
若P在抛物线上，
则有x+1=x²+x-1．
即x²+（1-2m）x-2m=0，
解得x₁=-1，x₂=2m，
∴P₁（2m，2m+1），P₂（-1，0）显然P₂不合题意，舍去．
此时AP=PD=（2m+1）；①
又由，得；②
由①、②有：（2m+1）=．
整理得：m²-2m-1=0，
解得：m=1±，
∵m＞0，
∴m=1+．
即若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，
则m=1+；

情形二：△ABC∽△PAB，
则∠PAB=∠ABC，，
同于情形一：∵∠PAB=∠ABC，
∴，
∴可令P（x，（x+1）），
若P在抛物线上，则有（x+1）=x²+x-1．
整理得：x²-mx-m-1=0，
解得：x₁=-1，x₂=m+1，
∴P（m+1，（m+2））或P（-1，0），
显然P（-1，0）不合题意，舍去．
此时；①
又由得：；②
由①、②得：，
整理得m²=m²+1，显然无解．
综合情形一二得：若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则m=1+．
分析：（1）根据所给的A、B的值，代入二次函数，可求出a、b的值，得到二次函数的表达式；
（2）由点的坐标可得到△AOC是等腰直角三角形，从而得到∠CMD=90°，再利用扇形面积公式可计算出面积；
（3）利用三角形的相似，得到比例线段求出m的值，需考虑到有两种情况．
点评：综合考查了用待定系数法求二次函数的解析式，两点之间的距离公式，圆心角等于圆周角的2倍．相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，具有较强的综合性．