Question

18．在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等．
（1）求∠EAF的度数．
（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N．若EG=4，GF=6，BM=3$\sqrt{2}$，求AG、MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）如图2中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，连接MH，首先证明MN²=MB²+ND^2，由Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．因为CE²+CF²=EF²，所以（x-4）²+（x-6）²=10²．解这个方程，求出x的值即可得到AG=12，在（2）中，根据MN²=MB²+ND²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

在Rt△ABE和Rt△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE，
∴∠BAE=∠GAE．
同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠GAF=∠DAF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；

（2）如图2中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，连接MH，

由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45°，
∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，
∴△AHM≌△ANM，
∴MN=MH
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°
由旋转知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，
∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，
∴MH²=HB²+ND²，
∴MN²=MB²+ND²；
∵Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE=EG=4，DF=FG=6，则EF=10
设AG=AB=BC=DC=x，则CE=x-4，CF=x-6．
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-4）²+（x-6）²=10²．
解这个方程，得x₁=12，x₂=-2（舍去）．
∴AG=12，
∴BD=$\sqrt{2}$AB=12$\sqrt{2}$．
∵MN²=MB²+ND²
设MN=a，则a²=（3 $\sqrt{2}$）²+（12 $\sqrt{2}$-3 $\sqrt{2}$-a）²．
∴a=5 $\sqrt{2}$．即MN=5 $\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和一元二次方程的运用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．